- Факторгруппа
-
В этой статье слишком короткое вступление. Пожалуйста, дополните вводную секцию, кратко раскрывающую тему статьи и обобщающую её содержимое.Группа (математика) Теория групп Основные понятия Подгруппа
Нормальная подгруппа
Факторгруппа
(полу-)Прямое произведениеТопологические группы Группа Ли
Ортогональная группа O(n)
Специальная унитарная группа SU(n)
G2 F4 E6 Группа Лоренца
Группа ПуанкареСм. также: Портал:Физика Факторгруппа — конструкция дающая новую группу (факторгруппу) по группе и её нормальной подгруппе.
Факторгруппа группы по нормальной подгруппе обычно обозначается .
Содержание
Определение
Пусть — группа, и — её нормальная подгруппа. Тогда на классах смежности в
можно ввести умножение:
Легко проверить что это умножение не зависит от выбора элементов в классах смежности, то есть если и , то . Это умножение определяет структуру группы на множестве классов смежности, а полученная группа называется факторгруппой по .
Свойства
Гомоморфный образ группы
До победы коммунизма
Изоморфен факторгруппе
По ядру гомоморфизма.- Теорема о гомоморфизме: Для любого гомоморфизма
-
- ,
- то есть факторгруппа по ядру изоморфна её образу в .
- Отображение задаёт естественный гомоморфизм .
- Порядок равен индексу подгруппы . В случае конечной группы он равен .
- Если абелева, нильпотентна, разрешима, циклическая или конечнопорождённая, то и будет обладать тем же свойством.
- изоморфна тривиальной группе (), изоморфна .
Примеры
- Пусть , , тогда изоморфна .
- Пусть (группа невырожденных верхнетреугольных матриц), (группа верхних унитреугольных матриц), тогда изоморфна группе диагональных матриц.
Вариации и обобщения
Примечания
Литература
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: «Факториал Пресс», 2002. — ISBN 5-88688-060-7.
Категория:- Теория групп
Wikimedia Foundation. 2010.